Class 10 maths chapter 1 Real Numbers exercise 1.1 solutions
Class 10 Maths Chapter 1 Real Numbers Exercise 1.1 Solutions are given below in both Hindi and English medium. Exercise 1.1 has been solved by the method given by the book so that all of you can understand this solution easily and you get full marks in the board exam and all of you will be easy to prepare. Do not face difficulties. Below in this page, first in English medium and then in Hindi medium, the exercises / questions are solved. Hope this solution will help you in your preparation and you will like it.
Class 10 Maths Chapter 1 Real Numbers Exercise 1.1 Solutions हिंदी और अंग्रेजी दोनों माध्यम में नीचे हल किया गया हैं। Exercise 1.1 किताब द्वारा बताए गए मैथड से हल किया गया हैं ताकि आप सभी को ये हल आसानी से समझ आ जाए और बोर्ड परीक्षा में आपके पूरे अंक आए तथा आप सभी को तैयारी करने में आसानी हो। कठनाइयों का सामना न करना पड़े। इस पृष्ठ में नीचे पहले अंग्रेजी माध्यम और फिर हिंदी माध्यम में अभ्यास/प्रश्नों को हल किया गया हैं। आशा करते हैं ये हल आपको आपके तैयारी में मदद करेगा और आपको पसंद आएगी।
Class 10 NCERT Math Chapter 1 exercise 1.1 solutions in English
Ex 1.1 Questions 1. (class 10 Math)
Use Euclid's division algorithm to find the HCF of:
(i) 135 and 225
(ii) 196 and 38220
(iii) 867 and 255
Solution:
(ii) By Euclid's division algorithm, we have
38220=196×195+0
196=196×1+0
HCF (38220, 196) = 196.
(iii) By Euclid's division algorithm, we have
867=255×3+102
255=102×2+51
102=51×2+0
HCF (867, 255) = 51.
Ex 1.1 Questions 2. (class 10 Math)
Show that any positive odd integer is of the form 6q+1, or 6q+3, or 6q+5, where q some integer.
Solution:
Let a be a positive odd integer. Also, let q be the quotient and r the reminder after dividing a by 6.
Then, a=6q+r, where 0<r<6.
Putting r=0,1,2,3,4 and 5, we get:
a=6q, a=6q+1, a=6q+2, a= 6q+3, a=6q+4, and a=6q+5
But a=6q, a=6q+2 and a=6q+4 are even.
Hence, when a is odd, it is of the form 6q+1, 6q+3 and 6q+5 for some Hence proved.
Ex 1.1 Questions 3. (class 10 Math)
An army contingent of 616 members is to march behind an army band of 32 members in a parade. The two groups are to march in the same number of columns. What is the maximum number of columns in which they can march?
Solution:
Maximum number of columns = HCF of (616, 32)
For finding the HCF we should apply Euclid's division algorithm
Given numbers are 616 and 32
On applying Euclid's division algorithm we have
616=32×19+8
Since the reminder 8≠0, so again we apply Euclid's division algorithm to 32 and 8, to get
32=8×4+0
The reminder has now become zero, we stop,
At the last stage, the divisor is 8
The HCF of 616 and 32 is 8.
Therefore, the maximum number of columns in which an army contingent of 616 members can march behind an army band of 32 members in a parade is 8.
Ex 1.1 Questions 4. (class 10 Math)
Use Euclid’s division lemma to show that the square of any positive integer is either of the form 3m or 3m + 1 for some integer m.
Solution:
Let a be a positive integer, q be the quotient and r be the remainder.
Dividing a by 3 using the Euclid's division Lemma,
We have
a=3q+r, where 0≤r<3.
Putting r=0, 1 and 2, we get:
a=3q
=> a²= 9q²
= 3×3q²
= 3m (Assuming m = q²)
Then, a=3q+1
=> a²= (3q+1)² = 9q²+6q+1
= 3(3q²+2q)+1
= 3m+1 (Assuming m=3q²+2q)
Next, a=3q+2
=> a²=(3q+2)² = 9q²+12q+4
= 9q²+12q+3+1
=3(3q²+4q+1)+1
= 3m+1. (Assuming m=3q²+4q+1)
Therefore, the square of any positive integer (say, a²) is always of the form 3m or 3m+1.
Hence, proved.
Ex 1.1 Questions 5. (class 10 Math)
Use Euclid’s Division Lemma to show that the cube of any positive integer is either of the form 9m, 9m + 1 or 9m + 8.
Solution:
Class 10 NCERT Math Chapter 1 exercise 1.1 solutions in Hindi Medium
अभ्यास 1.1 (class 10 Maths)
प्र. 1. यूक्लिड विभाजन एल्गोरिथ्म का प्रयोग करके HCF ज्ञात कीजिए।
(i) 135 और 255 (ii)196 और 38220 (iii) 867 और 255
हल: (i)135 और 255
a=255, b=135 (सबसे बड़ी संख्याओं को a तथा सबसे छोटी संख्याओं को b मानते हैं)
यूक्लिड विभाजन एल्गोरिथ्म के प्रयोग से:
a=bq+r तब
255=135×1+90
135=90×1+45
90=45×2+0 (जब हमें r=0 प्राप्त होता हैं तब हम आगे हल करना बंद कर देते हैं।)
b=45 (r=0 प्राप्त होने पर b का मान HCF होता हैं।)
HCF = 45
हल: (ii) 196 और 38220
a=38220, b=196 (सबसे बड़ी संख्याओं को a तथा सबसे छोटी संख्याओं को b मानते हैं)
यूक्लिड विभाजन एल्गोरिथ्म के प्रयोग से:
a=bq+r तब
38220=196×195+0 (जब हमें r=0 प्राप्त होता हैं तब हम आगे हल करना बंद कर देते हैं।)
b=196 (r=0 प्राप्त होने पर b का मान HCF होता हैं।)
HCF = 196
हल: (iii) 867 और 255
a=867, b=255 (सबसे बड़ी संख्याओं को a तथा सबसे छोटी संख्याओं को b मानते हैं)
यूक्लिड विभाजन एल्गोरिथ्म के प्रयोग से:
a=bq+r तब
867=255×3+102
255=102×2+51
102=51×2+0 (जब हमें r=0 प्राप्त होता हैं तब हम आगे हल करना बंद कर देते हैं।)
b=51 (r=0 प्राप्त होने पर b का मान HCF होता हैं।)
HCF = 51
प्र. 2. दर्शाइए कि कोई भी धनात्मक विषम पूर्णांक 6q+1, या 6q+3, या 6q+5 के रूप का होता हैं जहां q कोई पूर्णाक हैं।
हल: दर्शाना हैं a=6q+1 या 6q+3 या 6q+5.
माना की a कोई धनात्मक विषम पूर्णांक है: जहां b= 6 होगा,
जब हम 6 को a से विभाजित करते हैं जो शेषफल क्रमशः 0,1,2,3,4 और 5 पाते हैं।
जहां 0≤r<b
यहां a एक विषम संख्या है इसलिए शेषफल भी विषम संख्या प्राप्त होता है।
शेषफल होगा 1 या 3 या 5
यूक्लिड विभाजन एल्गोरिथ्म के प्रयोग से हम पाते हैं।
a=6q+1, 6q+3 या 6q+5
प्र.3. किसी परेड में 616 सदस्यों वाली एक सेना (आर्मी) की टुकड़ी को 32 सदस्यों वाले एक आर्मी बैंड के पीछे मार्च करना है। दोनों समूह को सामान संख्या वाले स्तंभों में मार्च करना है। उन स्तंभों की अधिकतम संख्या क्या है जिसमें वे मार्च कर सकते हैं।
हल: स्तंभों की अधिकतम संख्या= HCF (616, 32)
a=616, b=32 (सबसे बड़ी संख्या को a तथा सबसे छोटी संख्या को b मानते हैं)
यूक्लिड विभाजन एल्गोरिथ्म के प्रयोग से
a=bq+r तब
616=32×19+8
32=8×4+0 (जब हमें r=0 प्राप्त होता हैं तब हम आगे हल करना बंद कर देते हैं।)
b=8 (r=0 प्राप्त होने पर b का मान HCF होता हैं।)
HCF = 8
इसलिए स्तंभों की अधिकतम संख्या 8 होगी।
प्र. 4. यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका का प्रयोग करके दर्शाइए कि किसी धनात्मक पूर्णांक का वर्ग, किसी पूर्णाक m के लिए 3m या 3m+1 के रूप का होता हैं।
हल: दर्शाना है: a²=3m or 3m+1
a=bq+r
माना कि a कोई धनात्मक पूर्णांक है जहां b=3, r=0,1,2 क्योंकि 0≤r<3
तब a= 3q+r कुछ पूर्णाक के लिए q≥0
इसलिए, a=3q+0 or 3q+1 or 3q+2
अब हम पाते हैं,
=> a²= (3q+0)² or (3q+1)² or (3q+3)²
=> a²= 9q² or 9q² + 6q+1 or 9q²+12q+4
=> a²= 9q² or 9q² + 6q+1 or 9q²+12q+3+1
=> a²= 3(3q²) + 3(3q²+2q) + 1 or 3(3q²+4q+1)+1
यदि m= (3q²) or (3q²+2q) or (3q²+4q+1) हो तो हम पाते हैं कि;
a²= 3m or 3m+1 or 3m+1
प्र. 5. यूक्लिड विभाजन प्रमेयिक का प्रयोग करके दर्शाइए कि किसी धनात्मक पूर्णांक का घन 9m, 9m+1 या 9m+8 के रूप में होता है।
हल: माना, a कोई धनात्मक पूर्णांक है;
यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका के प्रयोग से;
a=bq+r जहां; 0≤r<b
b=9 रखने पर
a=9q+r जहां; 0≤r<9
जब r=0 हो;
a=9q+1
a³=(9q+1)³=9(81q³+27q²+3q)+1
=9m+1 जहां m=81q³+27q²+3q
जब r=2 हो तो
a=9q+2
a³= (9q+2)³ = 9(81q³+54q²+12q)+8
=9m+2 जहां m=81q³+54q²+12q
अतः किसी धनात्मक पूर्णांक का घन 9m, 9m+1 या 9m+8 के रूप का होता है।